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Contribution à la confection d'un tarif de cubage à une entrée. Cas du Terminalia superba au Mayumbe

Mabiala - ma - Khete ¹

1. Résume

Notre étude a porté sur la recherche d'un modèle mathématique le plus approprié et traduisant la meilleure corrélation entre le volume d'un arbre (variable dépendante) calculé en fonction d'un seul paramètre ; soit le diamètre à hauteur de poitrine appelé variable indépendante.

Nous avons réalisé 81 études d'arbre dans la région du Mayumbe. les données ont été traitées en utilisant un modèle mathématique qualifié de logarithmique du premier degré de la formule V= aD^b ; où V = volume, a et b étant des constantes et D = diamètre à hauteur de poitrine (DHP).

La valeur de l'ajustement de la courbe par analyse de régression à l'aide du coefficient de corrélation obtenu (R² = 0,97) étant très proche de 1, cela dénote une très bonne régression.

2. Introduction

Il est capital lors de l'évaluation des ressources et plus précisément dans un inventaire forestier de définir, clairement et objectivement, le volume auquel on se référence (volume brut, volume net, volume total, etc.). L'estimation de ce volume de référence peut se faire de la manière suivante:

1. soit en utilisant des formules (telles que les formules géométriques pour le calcul du volume des solides simples) et des procédés graphiques à condition que l'on fasse des mesures suffisamment détaillées;
2. soit en utilisant des relations quantitatives entre les quelques mesures et les volumes, tels que les tarifs de cubage calculés par régression.

L'avantage d'utiliser les tarifs de cubage mathématique en inventaire forestier est évident. Ils permettent à partir de la mesure d'un nombre limité d'arbres judicieusement choisis à l'intérieur de la zone d'inventaire d'estimer objectivement le volume d'un plus grand nombre d'arbres et par là les volumes moyens et totaux de la zone inventoriée. Les tarifs de cubage peuvent alors être établis à partir d'équations (ou formules) qui donnent le volume brut d'un arbre en fonction de certaines de ses caractéristiques et qui dérivent d'analyses statistiques de régression.

Dans le cadre de la présente étude, le volume brut " variable dépendante " est calculé en fonction d'une seule caractéristique, soit le diamètre à hauteur de poitrine (DHP) alors appelée variable indépendante. On définit par là un tarif de cubage à une entrée communément appelée " tarif de cubage local " dont le principe d'établissement est repris au point 3 ci-après.

3. Matériels et méthodes

Dans le secteur forestier à inventorier, on prend au hasard des échantillons pour chacune des essences forestières ou groupements d'essences forestières retenus dont on veut connaître le potentiel. On mesure le diamètre et on calcule le volume de chacun de ces arbres. L'ensemble des couples de valeurs diamètre volume est ensuite traité mathématiquement pour déterminer une relation donnant le volume moyen d'un arbre en fonction de son diamètre.

Tous les arbres soumis à l'étude devront avoir un diamètre égal ou supérieur à 17,6 cm et sont cubés jusqu'à la première grosse branche. Le reste de l'arbre n'est pas considéré et le calcul du volume se fait par la méthode de Bitterlich en appliquant la formule suivante:

V = { EQ \F(m³ ; 8 x 106 )} { [(p1 - pa) (d1² + d2²) + (p2 - p1) (d2² + d1²) + (p3 - p2) (d3² + d2²) + (pu-p3) (du²+d3²)]}

m = distance en mètres entre l'appareil et l'arbre ~t=3,14
p1 = lecture au point 1 de la pente donnée au télé-rela~kop
dl = lecture au point 1 du nombre d'unités de diamètre au télé-relaskop
pa = lecture à hauteur d'abattage de la pente donnée au télé-relaskop
da = lecture à hauteur d'abattage du nombre d'unités de diamètre
pu = lecture au point directement sous la première grosse branche de la pente
du = lecture du nombre d'unités de diamètre sous la première grosse branche.

Ainsi, les mesures de diamètres sont prises à la souche (pa), sous la première grosse branche (pu) et à trois niveaux intermédiaires judicieusement choisis entre le DHP et la première grosse branche (p1, p2 et p3). Pour avoir une mesure de référence, on mesure également le DHP au galon circonférenciel.

La formule de Bitterlich telle qu'elle est présentée, donne le volume de l'arbre avec écorce. Alors que pour un tarif de cubage il s'agit de sortir le volume ligneux sous écorce.

La formule de Bitterlich modifiée qui permet de trouver le volume brut de l'arbre sous écorce est la suivante:

Vse = { EQ \F(m³ ; 8 x 106 )} { [(p1 - pa) (mdl - 2e)² + (mda - 2e)²]
+ [(p2 - p1) (md2 - 2e)² + (md2 - 2e)²]
+ [(p3 - p2) (md3 - 2e)² + (md2 - 2e)² ]
+ [ (pu - p3) (mdu - 2e)² + (md3 - 2e)² ]}

où 2e = la double épaisseur de l'écorce mesurée au niveau du DHP.

L'objectif final poursuivi lors de l'établissement d'un tarif de cubage est la confection d'un tableau qui donne le volume d'un arbre en fonction d'une ou de plusieurs de ses caractéristiques (voir illustration au point 8). Dans le cas présent, le volume de l'arbre n'est fonction que d'une seule caractéristique ; soit le diamètre à hauteur de poitrine (DHP). En d'autres termes, le tarif de cubage exprime la relation qui existe entre le volume de l `arbre et son diamètre (DHP) sur un territoire donné.

En effet, dans l'unité d'aménagement sous étude, nous avons réalisé le nombre requis d'études du Terminalia superba à l'aide du télé-relaskop afin d'en calculer le volume. C'est avec ces données que le tarif de cubage local du Limba a été établi. Ces études ont été regroupées par classe de grosseur et par ordre croissant de diamètre. Si l'on pointe sur un graphique avec en ordonnée les valeurs de différents volumes calculés et en abscisse les valeurs de diamètres correspondants pour une essence donnée, on retrouve facilement la courbe qui représente le tarif recherché. Avec les mêmes données, on obtient une droite sur du papier logarithmique. L'équation de régression représentée par le tarif est obtenue par la méthode analytique. Cette méthode permet de déterminer la droite qui répond aux principes des moindres carrés ; soit celle qui a la plus grande probabilité de correspondre le mieux aux données. Cela revient donc à déterminer la droite qui fait la somme des carrés des écarts de la droite minimum.

4. Résultats

L'examen de la courbe représentant le tarif de cubage ainsi que les essais mathématiques effectués ont permis le choix de la plus probable équation de régression correspondant le mieux à cette courbe.

Cette équation est la suivante:

V = aD^b
d'où log V = log a + b log d
V = volume
a et b = constantes
D = diamètre à hauteur de poitrine.

4.1. Calcul des coefficients de régression

La méthode des moindres carrés permet mathématiquement de calculer à partir des données, les coefficients de régression a et b et la procédure est la suivante:

1. On dresse le tableau suivant; avec toutes les données de volume (V) et de diamètre (D) pour une essence et l'on complète à partir de ces données les cinq (5) autres colonnes pour en avoir sept au total:

2. On fait la somme des colonnes 3, 4, 5, 6 et 7

3. Grâce à ces totaux, il est maintenant possible de procéder au calcul des coefficients a et b. Pour cela on peut soit appliquer les formules qui donnent a et b, soit résoudre le système d'équations normales obtenues d'après le principe des moindres carrés.

Equations normales

Y=NA+BY X (1)
XY=A X+B X (2)

où a et b = coefficients à trouver
N = nombre d'observations
Y = log V
X = log D

Il suffit de résoudre ce système de deux équations à 2 inconnues (a et b) pour en déduire leur valeur.

Connaissant maintenant les coefficients de régression a et b, l'équation de régression représentant le tarif est maintenant trouvée. C'est-à-dire:

log V = log a + blog D
V = aD^b

La confection du tarif de cubage local d'un arbre est ainsi terminé. Pour trouver le volume d'un arbre, il suffit de remplacer le D de la formule par le DHP mesuré de l'arbre et de faire le calcul. On se rappellera que le volume trouvé c'est le volume brut sous écorce de la bille entre la hauteur d'abattage et la première grosse branche dont la mesure de référence est le diamètre à hauteur de poitrine avec écorce.

4.2. Présentation des tarifs de cubage

Le tarif de cubage local pour une essence forestière ou groupe d'essences est présenté sous forme de tableau intitulé " tarif du cubage local ". Ce tableau, comme l'indique l'illustration qui suit, comporte deux parties principales:

• la première indique le nom scientifique de l'essence et le territoire d'application du tarif;
• et la deuxième dans laquelle on donne avant tout l'équation de régression utilisée pour une essence ou groupe d'essence donné; ensuite les volumes calculés à partir de la régression pour les différentes classes de grosseur avec dans la première colonne les points centraux de celles-ci.

Il est donc possible, à l'aide de ce tableau, connaissant le DHP, de lire immédiatement le volume correspondant.

5. Discussion

La discussion de nos résultats porte essentiellement sur la vérification de la valeur de l'ajustement de la courbe par analyse de régression selon la valeur obtenue du coefficient de corrélation " R² ". Ce dernier exprime la proportion de la variation qui est expliquée par la courbe. Il convient de rappeler que la valeur maximum du coefficient, lorsque l'ajustement est parfait, égale 1. Mais pour les tarifs de cubage, ce n'est jamais le cas. Toutefois, un coefficient de corrélation d'une valeur supérieure à 80 % dénote déjà une bonne régression.

Il ressort de notre étude que la valeur du coefficient de régression calculée est de 0,97 ; une valeur supérieure à 80%, et très proche de 1. Ce qui confirme la fiabilité des résultats obtenus.

6. Conclusion

Des expériences menées par le centre technique forestier tropical (CTFT) dans certains pays d'Afrique, il ressort que des tarifs de cubage ont été construits pour une essence forestière ou groupes d'essences donnés avec 100 ou même moins d'arbres échantillons. Lors des inventaires forestiers en République démocratique du Congo, des tarifs de cubage d'une précision acceptable ont été construits avec en moyenne 50 arbres échantillons répartis en classe de grosseurs.

Il s'est avéré, par ailleurs, qu'une distribution représentative des arbres échantillons par essence ou par classe de diamètre paraît intuitivement la méthode la plus sûre, sinon la meilleure.

Contrairement à l'expérience vécue sur les tarifs de cubage des arbres debout, le modèle mathématique logarithmique de premier degré de type V = aD^b nous a permis d'obtenir des résultats plus concluants au regard de l'affinité constatée lors de la vérification de l'ajustement de la courbe par l'analyse de régression.

7. Ouvrages consultés.

1. Aurèle R., --- Statistique- deuxième partie - corrélation et régression, 135 p. (syllabus).
2. Dagnelie P., 1968. Théorie et méthodes statistiques, volume 1, 378 p., presses agronomiques de Gembloux.
3. Dagnelie P., 1970. Théorie et méthodes statistiques, volume 2, 451 p., presses agronomiques de Gembloux.
4. Desabie J. , 1965. Théorie et pratique des sondages, Dunod, paris, 481 p.
5. Ezekiel M. & Fox K.A., 1959. Methods of correlation and regression analysis, linear and curvilinear, Wiley, New york, 548 p.
6. Smirnov N.V., 1961. Tables for the distribution and density functions oft-distributions (student's distribution), pergamon press, oxford, 129 p.
7. Yates F., --- Méthodes de sondage pour recensements et enquêtes, Dunod, paris, 336 p.

8. Illustration : exemple de calcul de régression pour un tarif de cubage local

1. Essence forestière: Terminalia superba
2. Milieu écologique d'étude: district du bas-fleuve (Bas-congo)
3. Nombre d'études faites: 81 c'est-à-dire, 81 tiges de Limba ont été soumises a l'étude.
4. Le tableau ci-après a été dressé comme on s'en aperçoit, ce tableau comporte 7 colonnes. La première colonne donne les différentes mesures de DHP, c'est-à-dire le diamètre de chacune des 81 tiges. La deuxième colonne donne la valeur correspondante de volume pour chaque DHP. Le calcul de ce volume a été développé au point 3. Quant aux autres colonnes, il s'agit de log D; log V; (log D)² et de (log D x log V).

Le modèle mathématique de l'équation choisie étant: V = aD^b cette équation est dite logarithmique du premier degré. D'où log V = log a + b log D. Les totaux de ces colonnes sont également donnés et en appliquant les formules on trouve directement les coefficients a et b.

N.B. Pour des raisons de commodité, le tableau donne les volumes logarithmiques à 2 chiffres après la virgule alors qu'en réalité les calculs se font avec 9 chiffres après la virgule tel que nous l'avons fait pour les sommations.

Les coefficients a et b peuvent être calculés de deux manières:

1. Par résolution des équations normales

La résolution d'un système de deux équations à deux inconnues: a et b:

2. Par simple application de formules

L'équation de régression étant ainsi trouvée, pour calculer le volume d'un arbre, il suffit de remplacer le DHP de cet arbre par le D de la formule et de faire le calcul.

¹ Ing. Agronome des Eaux & Forêt, DESS
B.P. 12 348 Kinshasa I
Tél. + 243 81 50 85 520
Courriel: [email protected]
République Démocratique du Congo
Novembre 2002

Coordonnateur national du Plan d'Action Forestier Tropical, Ministère des affaires foncières, environnement et tourisme, République Démocratique du Congo