Ejercicio 3.1 La ecuación de crecimiento de von Bertalanffy

Los parámetros de crecimiento del pargo malabárico (Lutjanus malabaricus) en el Mar de Arafura fueron reportados por Edwards (1985) como:

K = 0.168 por año
L_¥ = 70.7 cm (talla estándar)
t_o = 0.418 años

Edwards también estimó la relación talla estándar/peso para Lutjanus malabaricus:

W = 0.041 * L^2.842 (peso en g y talla estándar en cm)

así como la relación entre la talla estándar (T.E.) y la talla total (T.T.):

T.T. = 0.21 + 1.18 * T.E.

Tareas:

Complete la hoja de trabajo y dibuje las tres curvas siguientes:

1) Talla estándar como una función de la edad
2) Talla total como una función de la edad
3) Peso como una función de la edad

Hoja de trabajo 3.1

edad años	talla estándar cm	talla total cm	peso corporal g	edad años	talla estándar cm	talla total cm	peso corporal g
0.5				8
1.0				9
1.5				10
2				12
3				14
4				16
5				(No utilice edades por sobre 16 en el gráfico)
6
7				20
				50

Ejercicio 3.1.2 La ecuación de crecimiento en peso de von Bertalanffy

Pauly (1980) determinó los siguientes parámetros para el motambo esplendor (Leiognathus splendens) de Indonesia occidental:

L¥ = 14 cm	K = 1.0 por año
q = 0.02332	to = - 0.2 año

Tareas:

Complete la hoja de trabajo y dibuje las curvas de crecimiento de von Bertalanffy para la talla y para su conversión en peso.

Hoja de trabajo 3.1.2

edad t	talla L(t)	peso w(t)	edad t	talla L(t)	peso w(t)
0			0.9
0.1			1.0
0.2			1.2
0.3			1.4
0.4			1.6
0.5			1.8
0.6			2.0
0.7			2.5
0.8			3.0

Ejercicio 3.2.1 Datos de lecturas de edad y composición de tallas (clave edad/talla)

Considere la Tabla 3.2.1.1 (clave edad/talla) y suponga una captura total de 2400 peces de la especie en cuestión, durante el crucero del cual se obtuvo esta clave edad/talla y que a sólo 439 especímenes de la Tabla 3.2.1.1 se les determinó la edad. Los peces restantes fueron todos medidos a su talla. Para reducir el trabajo computacional del ejercicio se utilizará sólo una parte (386 peces) de esta muestra de frecuencias de talla. Esta parte se muestra en la hoja de trabajo.

Tareas:

Estime cuántos de estos 386 peces pertenecían a cada una de las seis cohortes listadas en la Tabla 3.2.1.1, completando la hoja de trabajo.

Hoja de trabajo 3.2.1

Ejercicio 3.3.1 El gráfico de Gulland y Holt

Randall (1962) marcó, liberó y recapturó navajón pardo (Acanthurus bahianus) cerca de las Islas Vírgenes. En la hoja de trabajo se muestran los datos de 11 de los peces recapturados, bajo la forma de su talla al ser liberados (columna B), la recaptura (columna C) y el período de tiempo entre la liberación y la recaptura (columna D).

Tareas:

1) Estime K y L_¥ para esta especie utilizando el gráfico de Gulland y Holt.
2) Calcule los límites del 95% de confianza del estimado K.

Hoja de trabajo 3.3.1

A	B	C	D	E	F
pez no.	L (t) cm	L (t+D t) cm	D t días	cm/año (y)	cm (x)
1	9.7	10.2	53
2	10.5	10.9	33
3	10.9	11.8	108
4	11.1	12.0	102
5	12.4	15.5	272
6	12.8	13.6	48
7	14.0	14.3	53
8	16.1	16.4	73
9	16.3	16.5	63
10	17.0	17.2	106
11	17.7	18.0	111

a (intercepto) =	b (pendiente) =
K=	L¥
sb =	tn-2

Intervalo de confianza para K=

Ejercicio 3.3.2 El gráfico de Ford-Walford y el método de Chapman

Postel (1955) reporta la siguiente relación talla/edad para el rabil (Thunnus albacares) frente a Senegal:

edad (años)	talla horquilla (cm)
1	35
2	55
3	75
4	90
5	105
6	115

Tareas:

Estime K y L_¥ utilizando el gráfico de Ford-Walford y el método de Chapman.

Hoja de trabajo 3.3.2

Gráfico de:	Ford-Walford		Chapman
t	L (t + D t) (y)	L(t) (x)	L(t + D t) - L (t) (y)
1
2
3
4
5
a (intercepto)
b (pendiente)
tn-2 límites de confianza de b
K
L¥

Ejercicio 3.3.3 El gráfico de von Bertalanffy

Cassie (1954) presenta la muestra de frecuencias de talla de 256 Chrysophrys auratus que se muestra en la figura. El resolvió esta muestra en componentes normalmente distribuidos (similares a la Fig. 3.2.2.2) utilizando el método de Cassie (ver Sección 3.4.3) y encontró las siguientes tallas medias para cuatro grupos de edad (compare la Fig. 17.3.3.3):

A	B	C	D
grupo de edad	largo medio (pulg.)	D L/D t	L
0	3.22
		2.11	4.28
1	5.33
		2.29	6.48
2	7.62
		2.12	8.68
3	9.74

Nota: un gráfico de Gulland y Holt (ver Columnas C y D), da:
K = - 0.002 y L_¥ = - 950 pulgadas, lo que no tiene ningún sentido.

Tareas:

1) Estime K a partir del gráfico de von Bertalanffy.
2) ¿Por qué no tiene sentido pedirle que estime t_o?

Fig. 17.3.3.3 Distribución de frecuencia de tallas de 256 ejemplares de Chrysophrys auratus. Las flechas indican las longitudes medias de los grupos de edad determinados utilizando el método de Cassie (1954).

Ejercicio 3.4.1 Método de Bhattacharya

Weber y Jothy (1977) presentaron la muestra de frecuencias de talla de 1069 bagas de dos hebras (Nemipterus nematophorus) que se muestra en la Fig. 17.3.4.1A. Estos peces fueron capturados durante una campaña desde el 29 de marzo al 1 mayo de 1972, en el Mar del Sur de China cerca de Sarawak. Las tallas medias son tallas totales desde el hocico al extremo del lóbulo inferior de la aleta caudal.

Las Figs. 17.3.4.1B y 17.3.4.1C muestran el gráfico de Bhattacharya para los datos de la Fig. 17.3.4.1A, donde B está basado en los datos originales en intervalos de 5 mm de talla y C en los mismos datos pero reagrupados en intervalos de 1 cm. Usted debe proseguir con la Figura C por dos razones: 1) porque parece ser más fácil ver una estructura en la Fig. C que en la Fig. B, y 2) porque el trabajo de cálculos a realizar es mucho más reducido.

Tareas:

1) Resuelva la muestra de frecuencias de talla (grupos de 1 cm, Fig. C), en componentes normalmente distribuidos y de allí estime la talla media y desviaciones estándares para cada componente. Utilice las cuatro hojas de trabajo y grafique las líneas de regresión.

2) Estime L_¥ , y K utilizando un gráfico de Gulland y Holt. Dibuje el gráfico.

3) ¿Cree Ud. que se pudo haber mejorado el análisis utilizando la Fig. B (grupos de 5 mm talla), en lugar de la Fig. C (grupo de 1 cm)?

Fig. 17.3.4.1A Distribución de frecuencia de tallas de Nemipterus nematophorus, utilizando intervalos de talla de 5 mm.

Fuente de la información: Weber y Jothy (1977).

Fig. 17.3.4.1B Gráfico de Bhattacharya para la distribución de tallas de la figura 17.3.4.1A, utilizando intervalos de talla de 5 mm.

Fig. 17.3.4.1C Gráfico de Bhattacharya para la distribución de tallas de la figura 17.3.4.1A, utilizando intervalos de talla de 1 cm.

Hoja de trabajo 3.4.1a

Hoja de trabajo 3.4.1b

Hoja de trabajo 3.4.1c

Hoja de trabajo 3.4.1d

Ejercicio 3.4.2 Análisis de progresión modal

La Fig. 17.3.4.2A muestra una serie de tiempo sobre doce meses del motambo esplendor (Leiognathus splendens), de la Bahía de Manila, Filipinas, 1957-58. (Datos de Tiews y Caces-Borja, 1965; figura redibujada tomada de Ingles y Pauly, 1984). Los números a mano derecha del diagrama de barras indican los tamaños muéstrales, en tanto que la altura de la barra representa los porcentajes del número total por grupo de talla.

La Fig. 17.3.4.2B muestra una serie de tiempo sobre seis muestras de caballa de la India (Rastrelliger kanagurta), de Palawan, Filipinas, 1965. (Datos de la División de Investigación, BFAR, Manila; figura redibujada tomada de Ingles y Pauly, 1984).

Tareas:

1) Ajuste a ojo las curvas de crecimiento de estas dos series de tiempo, tratando de seguir la progresión modal (como se hizo en la Fig. 3.4.2.6). Comience ajustando una línea recta y luego agregue cierta curvatura, pero no sea demasiado metódico en esto. (En realidad se debería haber realizado un análisis de Bhattacharya o uno similar para cada muestra, pero debido a la cantidad de trabajo involucrado en esa aproximación, se toma el más fácil, pero menos confiable, vale decir, el ajuste al ojo. Este ejercicio apunta a ilustrar sólo los principios del análisis de progresión modal, no el procedimiento exacto).

2) Lea las curvas de crecimiento ajustadas a ojo, pares de (t, L) = (tiempo de muestreo, talla), y utilice el gráfico de Gulland y Holt para estimar K y L. Suponga que las muestras se tomaron el primero de cada mes. Lea, para Leiognathus splendens sólo las tallas de las muestras indicadas por "*" en la Fig. A, ya que la figura es demasiado pequeña para una lectura precisa de cada mes. Utilice la hoja de trabajo.

3) Utilice el gráfico de von Bertalanffy para estimar t_o.

Hoja de trabajo 3.4.2

A. Leiognathus splendens:

Gráfico de:		Gulland y Holt		Von Bertalanffy
Tiempo de muestreo L(t)		D L/D t L		t	- ln (1- L/L¥ )
1 Junio
1 Septiembre
1 Diciembre
1 Marzo
a (intercepto)
b (pendiente, - K o K)
-a/b		L¥ =			to =
L(t)=		[1-exp (- (t- ))]

Fig. 17.3.4.2A Progresión de las distribuciones de frecuencias de tallas mensuales del motambo esplendor (Leiognathus splendens).

Fuente de la información: Tiews y Caces-Borja (1965).

B. Rastrelliger kanagurta:

Gráfico de:		Gulland y Holt		Von Bertalanffy
Tiempo de muestreo L(t)		D L/D t		t	- ln (1- L/L¥ )
1 Febrero
1 Marzo
1 Mayo
1 Junio
1 Julio
1 Agosto
a (intercepto)
b (pendiente, - K o K)
-a/b		L¥		t¥
L(t)=		[1-exp(- (t- ))]

Fig. 17.3.4.2B Progresión de las distribuciones de frecuencias de tallas mensuales de la caballa de la India (Rastrelliger kanagurta).

Fuente de la información: BFAR, Manila.

Ejercicio 3.5.1 ELEFAN I

Este ejercicio apunta a explicar los detalles del proceso de reestructuración de las frecuencias de talla. La Fig. 17.3.5.1A presenta una muestra (hipotética) de frecuencias de talla, donde la línea indica el promedio móvil. La tabla en la hoja de trabajo muestra los procedimientos de cálculo y algunos resultados. Mayores explicaciones se entregan más adelante para cada paso del procedimiento.

Tareas:

1) Complete los números faltantes en la tabla de la hoja de trabajo.
2) Dibuje el gráfico de barras de los datos reestructurados en la figura (B) de la hoja de trabajo.

Hoja de trabajo 3.5.1

Fig. 17.3.5.1A Distribución de frecuencia de talla de un muestreo hipotético. La línea continua corresponde a promedios móviles de 5 valores vecinos.

Paso 1:

Calcule el promedio móvil, PM(L) sobre 5 valores vecinos.

Ejemplos: (vea la Fig. 17.3.5.1A y la tabla de la hoja de trabajo)

PM(5) =	(0+0+4+13+6)/5= 4.6 a)
	(dos ceros agregados al comienzo de la muestra)
PM(15) =	(4+13+6+0+1)/5=4.8 b)
PM(35) =	(1+0+0+1+3)/5=1.0 c)
PM(60) =	(1+0+1+0+0)/5=0.4 d)

Paso 2:

Divida las frecuencias originales, FRQ(L), por medio del promedio móvil (PM) y calcule sus valores promedio, P:

Ejemplos:

6/4.8=1.25	e)
0/1=0	f)

S FRQ(L)/PM(L) = 12.993
L

S FRQ(L)/PM(L) = P = 12.993/12 = 1.083 g)

(12 = número de intervalos de talla)

Paso 3:

Divida FRQ/PM por P y reste 1

Ejemplos:

0.870/1.083 - 1 = -0.197	h)
0.714/1.083 - 1 = -0.341	i)
3.000/1.083 - 1 = 1.770	j)

Paso 4a:

Cuente el número de "ceros vecinos" entre los cuatro valores vecinos (dos ceros agregados a cada extremo de la muestra)

Paso 4b:

Suavice los valores positivos aislados: Para cada "cero vecino" el punto aislado es reducido en un 20%:

Si si hay valores "ceros vecinos", entonces multiplique este valor por [1-0.2* (n^o de ceros)]

Ejemplos:

1.610 * (1 - 0.2 * 2) =0.966	k)
0.154 * (1 - 0.2 * 1) = 0.123	l)
1.770 * (1 - 0.2 * 2) = 1.062	m)
1.308 * (1 - 0.2 * 3) =0.523	n)

Nota:

En la versión más reciente (Gayanilo, Soriano y Pauly, 1988) la suavización se ha hecho más pronunciada utilizando el factor:

Paso 4c:

Calcule la suma, SP, de FRQs positivas (reestructuradas) y calcule la suma, SN, de FRQs negativas (reestructuradas) y calcule la razón
R= -SP/SN

Ejemplo:

SP = 0.966 + 0.123 + 1.062 + 0.523 = 2.674
SN = -0.197 -1 - 0.341 -1 -1 - 0.077 - 0.230 -1 = -4.845
R = -SP/SN = 2.674/4.845 = 0.552 o)

Paso 5:

Si , pero < 0, entonces multiplique este valor por R

Los valores > 0 no se cambian

Ejemplos:

- 0.197 * 0.552 = -0.109 p)
- 0.231 * 0.552 =-0.123 q)
FRQ(55) =0 r)

Grafique los valores en el diagrama (Fig. 17.3.5.1B)

Paso 6:

Calcule ASP (suma de máximos disponibles). Identifique el punto más alto en cada secuencia de intervalos con puntos positivos (una "secuencia" puede consistir de un único intervalo)

Ejemplos:

0.966 es el punto más alto en la secuencia positiva 10-15 cm	s)
1.062 es el punto más alto en la secuencia positiva 45 - 45 cm
0.523 es el punto más alto en la secuencia positiva 60 - 60 cm

ASP = 0.966 + 1.062 + 0.523 = 2.551

Fig. 17.3.5.1B Hoja de cálculo para reestructurar el diagrama de barras del ejercicio 3.5.1, después del paso 5 (ver el texto).

Este ejercicio apunta a ilustrar la importancia de la elección del tamaño del intervalo de talla (ver Ejercicio 3.4.1).

La Fig. 17.3.5.1C1 presenta una muestra de frecuencias de talla (tomada de Macdonald y Pitcher, 1979) de 523 lucios del Lago Heming, Canadá, agrupadas en intervalos de 2 cm de talla. Hay cinco cohortes, determinadas sobre la base de lecturas de edad sobre escamas con tallas medias según se muestra en la siguiente tabla:

edad años	talla media cm	desv. estándar cm
1	23.3	2.44
2	33.1	3.00
3	41.3	4.27
4	51.2	5.08
5	61.3	7.07

Estos datos le colocan en posición de probar ELEFAN I.

La Fig. 17.3.5.1C2 muestra los componentes derivados de las lecturas de escamas, que se distribuyen normalmente, y la Fig. 17.3.5.1C3 muestra los datos reestructurados.

Con excepción de los peces más grande, ELEFAN I logra ubicar las ASPs (indicadas por flechas) cerca de donde están las "verdaderas" tallas medias de las cohortes, pero como todos los otros métodos, ELEFAN I tiene dificultades en el manejo de los peces más grandes (viejos).

Tareas:

Repita la reestructuración usando la hoja de trabajo (3.5.1a) sobre la base de intervalos de 4 cm (vea figura de la hoja de trabajo), en lugar de intervalos de 2 cm.

Compare los resultados con los presentados en las Figuras 17.3.5.1C1 y C2.

Fig. 17.3.5.1C Distribución de frecuencias de talla de 523 lucios (C1), cohortes establecidas a través de determinaciones de edad (C2) e información reestructurada con el ELEFAN I, para intervalos de talla de 2 cm.

Fuente de la información: Macdonald y Pitcher (1979).

Fig. 17.3.5. ID Distribución de frecuencias de talla reagrupada en intervalos de talla de 4 cm (Ver Fig. 17.3.5.1C).

Hoja de trabajo 3.5.1a

Fig. 17.3.5.1E Diagrama para graficar los puntos obtenidos después del paso 5, utilizando la información de la figura 17.3.5.1D.