CHAPITRE 2 - MODÈLES ET TAUX

2.1 Modèles

La science construit des modèles ou théories pour expliquer les phénomènes. Les phénomènes sont observés et des relations, des causes et des explications sont recherchées. Les observations sont réalisées sur l’évolution des grandeurs (caractéristiques) par rapport au temps (ou à d’autres caractéristiques) et en tenant compte des causes (facteurs) possibles.

• Physique - phénomène du mouvement des corps (caractéristiques - espaces parcourus par rapport aux temps dépensés à les parcourir)

• Biologie - phénomène de la croissance (caractéristique - longueur ou poids, par rapport au temps)

2.1.1 Structure d’un modele

Suppositions de base

• elles simplifient la réalité

• elles doivent être simples et “traitables” mathématiquement

• elles ne peuvent pas être contradictoires

• elles ne se démontrent pas

• elles sont établies sur les caractéristiques

Les suppositions de base se reportent normalement à l’évolution des caractéristiques et sont établies à partir des taux de variation de ces caractéristiques.

Relations (propriétés)

• déduites à partir des suppositions de base ou des relations déduites antérieurement par les lois de la logique (mathématique). Les propriétés sont aussi désignées par:

“résultats” ou “conclusions” du modèle

Vérification

• les résultats du modèle doivent être cohérents (concorder avec la réalité)

la vérification suppose l’observation (pratique):

échantillonnage, méthodes statistiques,...

Perfectionnement

• si les résultats ne s’accordent pas avec la réalité il faut changer les suppositions de base

• si l’accord s’en rapproche il faut vérifier si le rapprochement est suffisant ou non.

• le changement des suppositions de base peut être juste un “élargissement de contexte” de la réalité qui a servi de base aux suppositions pour les adapter à la nouvelle réalité sur laquelle on prétend appliquer le modèle.

Avantages

• plus simple d’analyser les propriétés du modèle que la réalité

• résultats utiles dans le sens pratique

• possibilité d’analyser des situations ou des scénarios différents

• mettre en évidence l’essentiel des phénomènes et leurs causes

• possibilité de perfectionnement

2.1.2 Type de modeles plus couramment utilises en evaluation des peches

Modèles de Production

Les modèles de production sont aussi appelés de modèles de Production Générale, modèles Globaux, modèles Synthétiques ou modèles du type Lotka-Volterra. Ces modèles considèrent le stock dans sa globalité, en particulier l’abondance totale (en poids ou en nombre) et étudient son évolution, les effets de l’effort de pêche, etc. Ils ne considèrent pas la structure par âge ou par longueurs du stock.

Modèles Structuraux

Ces modèles considèrent la structure du stock par âges et l’évolution de cette structure avec le temps. Mais, ils reconnaissent principalement que le stock dans une certaine période de temps est composé par des individus de différentes cohortes, et donc de différents âges et longueurs. Ainsi, ils permettent des analyses et des prévisions de ce qui peut arriver au stock et aux captures, en accompagnant l’évolution des différentes cohortes qui le composent.

Ce manuel ne suivra pas le chemin historique de la construction des modèles. Il a été jugé plus convenant discuter en premier les Modèles Structuraux et après analyser les Modèles de Production.

2.2 Taux

Les suppositions de base d’un modèle sur l’évolution d’une caractéristique requièrent le concept de taux de variation de la caractéristique par rapport au temps (ou à d’autres caractéristiques).

Figure 2.1 Évolution de la longueur (L) d’un individu avec le temps (ou l’âge) (t)

Pour l’étude générale des taux, il faudra substituer la caractéristique L de l’exemple par y, et la variable associée ne sera plus le temps t mais la variable x. En tenant compte des modèles d’évaluation et pour simplifier, on considérera que la fonction y, ne prend que des valeurs réelles et non négatives.

2.2.1 Taux moyen absolu - tma(Y)

Considérez y une fonction de x et l’intervalle i de limites (x_i, x_i+1)

Figure 2.2 Fonction y=f(x) variant dans l’intervalle i

Soient:

Dx_i = x_i+1 - x_i la taille de l’intervalle

y_i = valeur de y quand x = x_i

y_i+1 = valeur de y quand x = x_i+1

La variation de y dans l’intervalle Dx_i sera Dy_i = y_i+1 - y_i

Le taux moyen absolu, tma(y), de la variation de y dans l’intervalle Dxi sera:

Graphiquement:

Figure 2.3 Taux moyen absolu de variation de y dans l’intervalle Dx_i

Note: tma(y) est connue en physique comme la vitesse moyenne de variation de y en x, dans l’intervalle Dx_i.

2.2.2 TAUX INSTANTANE ABSOLU - tia(y)

Soit y une fonction de x

Le taux instantané absolu de y au point x = x_i est la dérivée de y par rapport à x en ce point.

Graphiquement:

Figure 2.4 Taux instantané absolu de y au point x_i

Note: tia(y) est connue comme vitesse instantanée de variation de y en x au point x.

Propriétés

1. Soit tia(y) le calcul de la fonction y est obtenu par intégration, étant y = f(x) + Constante, où f(x) = Primitive de tia(y) et Constante est la constante d’intégration.

Si l’on adopte la condition initiale x^*, y^*, où y^* est la valeur de y correspondante à x = x^*, alors, en éliminant la Constante, y = y^*+f(x)-f(x^*)

2. L’angle que la tangente à la courbe y fait avec l’axe xx’ est désigné par inclinaison.

La tangente trigonométrique de l’inclination est la pente de la tangente géométrique.

tia(y) = dérivée de y = pente = tg (inclinaison)

3. Si en un point x:

tia(y) > 0 alors y est croissant en ce point

tia(y) < 0 alors y est décroissant

tia(y) = 0 alors y est stationnaire en ce point (maximum ou minimum)

4. Si tia(y) = constante = const alors y est fonction linéaire de x, ou de la propriété 1:

y = Constante + const. x ou

y = y^* + const.(x-x^*) et vice-versa

5. Si y(x) = u(x) + v(x) alors tia(y) = tia(u) + tia(v)

6. Si les causes A et B isolément provoquent des variations en y alors les causes A et B en simultané provoquent une variation en y avec

tia(y) _totale = tia(y) _{cause A} + tia(y) _{cause B}

tia(tia(y)) = d²y/dx² = accélération de y au point x

7. Si l’accélération au point x est positive alors tia(y) est croissante et si cette accélération est négative tia(y) sera décroissante.

2.2.3 TAUX MOYEN RELATIF - tmr(y)

Considérez y une fonction de x et l’intervalle (x_i, x_i+1)

Soit:

Dx_i = x_i+1- x_i = taille de l’intervalle

y_i = valeur de y quand x = x_i

y_i+1 = valeur de y quand x = x_i+1

x_i* = un point de l’intervalle (x_i, x_i+1)

y_i* = valeur de y quand x = x_i*

Le taux moyen de y par rapport à y_i* sera:

ou

Commentaires

1. tmr(y) est associé avec le taux moyen de variation en pourcentage de y par rapport à la moyenne y*, soit,

2. Il est désigné par

3. Il faut, donc, désigner par dans l’intervalle (x_i, x_i+1) la valeur de y quand

À noter que peut être différent de la moyenne, (y_i,+ y_i+1)/2.

4. Il est fréquent de calculer tmr(y) par rapport à de l’intervalle.

2.2.4 TAUX INSTANTANE RELATIF - tir(y)

Soit y une fonction de x

Le taux relatif instantané de y au point x = x_i est

ou

Propriétés

1. Soit tir(y), le calcul de la fonction y est obtenu par intégration, avec y = f(x) + Constante, où f(x) = Primitive de tir(y) et Constante est la constante d’intégration.

Si l'on adopte la condition initiale x^*, y^*, où y^* est la valeur de y correspondante à x = x^*, on aura, en éliminant la Constante, y = y^*+ f(x) - f(x^*)

2. Si à un point x:

tir(y) > 0 alors y est croissant en ce point

tir(y) < 0 alors y est décroissant

tir(y) = 0 alors y est stationnaire en ce point (maximum ou minimum)

3. tir(y) = tia(lny) comme il peut être déduit par les règles de dérivation.

4. Si tir(y) = constante = const alors y est fonction exponentielle de x, soit,

5. Si y(x) = u(x).v(x) alors tir(y) = tir(u) + tir(v)

6. Si les causes A et B provoquent isolément des variations en y alors les causes A et B en simultané provoquent une variation en y où

tir(y)_total = tir(y)_{cause A} + tir(y)_{cause B}

2.3 Modèle linéaire simple

Soit y =f(x)

Supposition de base du modèle

tia(y) = Constante = b dans l’intervalle(x_i, x_i+1) avec Dx_i = x_i+1 - x_i

Condition initiale

x* = x_i Þy* = y_i

Figure 2.5 Représentation graphique d’un modèle linéaire simple

Propriétés

Autres expressions utiles

Démonstrations importantes

2.4 Modèle exponentiel

Soit y = f(x)

Supposition de base du modèle

tir(y) = Constante = c dans l’intervalle (x_i, x_i+1), avec Dx_i = x_i+1 - x_i

Condition initiale

x* = x_i Þ y* = y_i

Propriétés

Vu que tir(y) = tia(lny) on peut dire que le modèle exponentiel de y contre x est équivalent au modèle linéaire de lny contre x. Ainsi, ses propriétés plus importantes peuvent être déduites en anti-logarithmisant les propriétés du modèle linéaire de lny contre x.

Figure 2.6 Représentation graphique du modèle exponentiel

Figure 2.7 Représentation graphique du modèle linéaire de lny contre x

Autres expressions utiles

Démonstrations